Question

給出下列命題，其中正確的命題是

 

（把所有正確的命題的選項都填上）．
①函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．
②在R上連續(xù)的函數(shù)f（x）若是增函數(shù)，則對任意x₀∈R均有f′（x₀）＞0成立．
③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
④若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左右焦點，且|PF₂|=4，則|PF₁|=2或6
⑤已知函數(shù)y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數(shù)，其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值為π，則ω的值為2，θ的值為

π

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型

分析：對于①，令x-2=t，則2-x=-t，由y=f（t）和y=f（-t）的對稱性，從而得到函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象的對稱；
對于②，可舉反例，函數(shù)y=x³，即可判斷；
對于③，考慮側面的一側棱和底面的一底邊相等，即可判斷；
對于④，討論P的位置在左支上，還是在右支上，結合雙曲線上的點到焦點距離的最小值，判斷出P為右支上一點，再由雙曲線的定義，即可求出|PF₁|；
對于⑤，由函數(shù)為偶函數(shù)，應用誘導公式得，θ=

π

2

，再根據(jù)其圖象與直線y=2的交點，求出ωx=2kπ，再根據(jù)|x₁-x₂|的最小值為π，取k=0，k=1，求出ω．

解答： 解：對于①，令x-2=t，則2-x=-t，則y=f（t）和y=f（-t）關于直線t=0對稱，即關于直線x=2對稱，
故①正確；
對于②，在R上連續(xù)的函數(shù)f（x），若是增函數(shù)，則對任意x₀∈R均有f′（x₀）≥0成立，
比如f（x）=x³，f′（x）≥0，故②錯；
對于③，側面為等腰三角形，不一定就是側棱為兩腰，故③錯；
對于④，若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，且|PF₂|=4，若P在左支上，
則|PF₂|的最小值為

10

+1＞4，故P在右支上，|PF₁|-|PF₂|=2，故|PF₁|=6，故④錯；
對于⑤，函數(shù)y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數(shù)，則由誘導公式得，θ=

π

2

時，
y=2sin（ωx+

π

2

）=2cos（ωx）為偶函數(shù)，又其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x₁，x₂，
即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=

2kπ

ω

，若|x₁-x₂|的最小值為π則可取k=0，1，
即有

2π

ω

=π，ω=2，故⑤正確．
故答案為：①⑤．

點評：本題以命題的真假為載體，考查兩函數(shù)圖象的對稱和導數(shù)與單調性的關系，以及雙曲線的定義及應用，三角函數(shù)的圖象與性質，屬于基礎題．