Question

如圖所示，已知函數(shù)y=log₂4x圖象上的兩點(diǎn)A，B和函數(shù)y=log₂x上的點(diǎn) C，線段AC平行于y軸，三角形ABC為正三角形時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（p，q），則實(shí)數(shù)p的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，由線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關(guān)系，求出p、q的值，計(jì)算出結(jié)果．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)A（x₀，2+log₂x₀），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），
∵線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，
∴AC=2，2+log₂p=q，
∴p=2^q-2，∴4p=2^q；
又x₀-p=

3

，∴p=x₀-

3

，
∴x₀=p+

3

；
又2+log₂x₀-q=1，
∴l(xiāng)og₂x₀=q-1，x₀=2^q-1；
∴p+

3

=2^q-1；2p+2=2^q=4p，
∴p=

3

，
故答案為：

3

．

點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算問題，屬于中檔題．