Question

已知直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標原點，M為AB的中點．
（I）求證：直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1（e為橢圓的離心率）；
（II）若時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（），由A、B在橢圓b²x²+a²y²=a²b²上，得，兩式相減，得，由此能夠證明直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1．
（Ⅱ）連接OA，OB，當(dāng)2||=時，得，故x₁x₂+y₁y₂=0，由，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由相交，得△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，再由韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能夠求出a的取值范圍．
解答：（I）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（），
∵A、B在橢圓b²x²+a²y²=a²b²上，
故有，
兩式相減，得，
∴
=-=-=e²-1．
（Ⅱ）解：連接OA，OB，當(dāng)2||=時，得，
∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，
得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由相交，應(yīng)有△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，
化簡為a²+b²＞1，
由韋達定理：，，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=
=，
∴a²-2a²b²+b²=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式，有
a²-2a²（a²-a²e²）+a²-a²e²=0，
∴，
∵，∴1＜，適合條件a²+b²＞1，
由此，得．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、點差法的應(yīng)用、根的判別式和韋達定理的運用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．