Question

（1）已知拋物線過點A（1，2），求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知雙曲線的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于2，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先根據(jù)點的位置確定拋物線焦點的位置，然后分焦點在x軸的正半軸時、焦點在y軸的正半軸時兩種情況進(jìn)行求解；
（2）確定雙曲線的一個焦點為（2，0），即c=2，利用雙曲線的離心率等于2，可得a=1，求出b，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）點M（1，2）是第一象限的點
當(dāng)拋物線的焦點在x軸的正半軸時，設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0）
∴4=2p，p=2，即拋物線的方程是y²=4x；
當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸時，設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0）
∴1=4p，p=

1

4

，即拋物線的方程是x²=

1

2

y．
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=

1

2

y，或y2=4x
（2）拋物線y²=8x的焦點為（2，0），
∵雙曲線的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，
∴雙曲線的一個焦點為（2，0），即c=2，
∵雙曲線的離心率等于2，
∴a=1，
∴b=

3

，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-

y2

3

=1

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查拋物線、雙曲線的方程．（1）注意討論焦點在x軸和y軸兩種情況．