Question

（1）己知a，b，c都是正數(shù)，求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
（2）求函數(shù)f（x）=x+

4

x-2

（x＞2）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,基本不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用分析法，從結(jié)果入手，再利用配方法，即可證得結(jié)論；
（2）令t=x-2，則t＞0，y=t+

4

t

+2，然后利用基本不等式可求出函數(shù)f（x）的最小值，注意等號(hào)成立的條件．

解答： （1）證明：要證a²+b²+c²≥ab+bc+ca，只需證2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）
即證（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（a-c）²≥0，
所以（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0顯然成立，
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
（2）解：令t=x-2，則t＞0，y=t+

4

t

+2≥2

t• 4 t

+2=6，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

，即t=2，x=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

4

x-2

（x＞2）的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查分析法的運(yùn)用，正確運(yùn)用分析法是解題的關(guān)鍵．