【題目】已知函數(shù)的周期為,圖象的一個對稱中心為,若先把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象.

1)求函數(shù)的解析式;

2)設函數(shù),試判斷內的零點個數(shù).

【答案】1;(2)見解析.

【解析】

1)先根據(jù)周期和對稱中心可以求得,結合圖象變換可得的解析式;

2)先把的表達式求出,結合的取值討論零點個數(shù).

1)因為的周期為2,所以

,又因為的圖象的一個對稱中心為,

所以,因為,所以,

所以,

所以.

2)由(1)可知,

,因為,所以,則,

,,則

時,內有唯一零點,

這時,函數(shù)內有兩個零點.

時,內有兩個不等零點,

這時,函數(shù)內有四個零點.

時,,由,得,

這時,函數(shù)內有三個零點.

時,,由,得(舍),

這時,函數(shù)內有兩個零點.

綜上可得,當時,內有兩個零點;

時,內有三個零點;

時,內有四個零點.

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