【題目】在含有個元素的集合中,若這個元素的一個排列(,,…,)滿足,則稱這個排列為集合的一個錯位排列(例如:對于集合,排列是的一個錯位排列;排列不是的一個錯位排列).記集合的所有錯位排列的個數(shù)為.
(1)直接寫出,,,的值;
(2)當(dāng)時,試用,表示,并說明理由;
(3)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:為奇數(shù).
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
試題(1)根據(jù)定義列錯位排列,根據(jù)錯位排列的個數(shù)得,,,的值;(2)根據(jù)定義理解,,三者關(guān)系,需先確定兩類,有兩個數(shù)恰好錯排與這兩個數(shù)不錯排,再降數(shù)處理,(3)先根據(jù)遞推關(guān)系得對任意正奇數(shù),有均為偶數(shù),再利用以及歸納假設(shè)得結(jié)論.
試題解析:(1),,,,
(2),理由如下:
對的元素的一個錯位排列(,,…,),若,分以下兩類:
若,這種排列是個元素的錯位排列,共有個;
若,這種錯位排列就是將,,…,,,…,排列到第到第個位置上,不在第個位置,其他元素也不在原先的位置,這種排列相當(dāng)于個元素的錯位排列,共有個;
根據(jù)的不同的取值,由加法原理得到;
(3)根據(jù)(2)的遞推關(guān)系及(1)的結(jié)論,均為自然數(shù);
當(dāng),且為奇數(shù)時,為偶數(shù),從而為偶數(shù),
又也是偶數(shù),
故對任意正奇數(shù),有均為偶數(shù).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(其中)為奇數(shù).當(dāng)時,為奇數(shù);
假設(shè)當(dāng)時,結(jié)論成立,即是奇數(shù),則當(dāng)時,,注意到為偶數(shù),又是奇數(shù),所以為奇數(shù),又為奇數(shù),所以,即結(jié)論對也成立;
根據(jù)前面所述,對任意,都有為奇數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DE=a(0<≦1). w.w.w..c.o.m
(Ⅰ)求證:對任意的(0、1),都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為600C,求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:關(guān)于直線:對稱的圓為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作直線與圓交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線,使得在平行四邊形(和為對角線)中?若存在,求出所有滿足條件的直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求的零點(diǎn)個數(shù);
(Ⅲ)若函數(shù)在上是增函數(shù),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:是上的奇函數(shù);
(2)求的值;
(3)求證:在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(4)求在上的最大值和最小值;
(5)直接寫出一個正整數(shù),滿足.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點(diǎn),當(dāng)直線的斜率之積是不為0的定值時,求此時的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最小值和最大值;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的周期為,圖象的一個對稱中心為,若先把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),試判斷在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).
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