Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x³-3x+4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）①證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
②判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞]上的單調(diào)性（不要證明）；
（3）根據(jù)你對(duì)該函數(shù)的理解，作出函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象．（不需要說(shuō)明理由，但要有關(guān)鍵特征，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x＜0，從而-x＞0，從而可求出f（-x）=-x³+3x+4=-f（x），再根據(jù)f（0）=0便可用分段函數(shù)寫出f（x）的解析式；
（2）①x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x³-3x+4，求導(dǎo)數(shù)，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可得出f（x）在（0，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)；
②根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f（x）在[1，+∞）上的符號(hào)，從而得出其在[1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）f（x）為奇函數(shù)，從而圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且圖象過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性畫出其在（0，+∞）上的圖象，再畫出關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象即可．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，-x＞0，則：
f（-x）=-x³+3x+4=-f（x）；
∴f（x）=x³-3x-4；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x+4}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{3}-3x-4}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）①證明：0＜x＜1時(shí)，f（x）=x³-3x+4，f′（x）=3x²-3＜0；
∴f（x）在（0，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)；
②x≥1時(shí)，f（x）=x³-3x+4，f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由上面知，f（x）為奇函數(shù)，圖象在原點(diǎn)有定義，在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f（1）=2，f（2）=6；
∴根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)的單調(diào)性便可作出f（x）的圖象如下：
．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)，已知一曲間上的解析式，求其對(duì)稱區(qū)間上的解析式的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷和證明函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性畫圖象．