Question

泉州是一個歷史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重閩南式大屋頂與西式建筑的巧妙結合，具有獨特的建筑風格與空間特征．為延續(xù)我市的建筑風格，在舊城改造中，計劃對部分建筑物屋頂進行“平改坡”，并體現(xiàn)“紅磚青石”的閩南傳統(tǒng)建筑風格．現(xiàn)欲設計一個閩南式大屋，該大屋可近似地看作一個四棱柱和一個三棱柱的組合體，其直觀圖和三視圖如圖（單位：m）所示．

（Ⅰ）裝在E、F處的路燈，夜間恰好能照到建筑物前的一條筆直的人行小道，試證明人行小道所在的直線與直線AB平行；
（Ⅱ）記建筑物內(nèi)墻角所在直線與屋頂斜面ABFE所成的角為α，當x=

11

時，求sinα的值；
（Ⅲ）已知四棱柱部分的外部裝修費平均300元/平方米，三棱柱部分的外部裝修費平均400元/平方米，而且為視角美觀，要求屋頂斜面四邊形ABFE中，0.6≤

AE

AB

≤0.64，試估算該閩南式大屋外部裝修的最少費用．（精確到萬元，參考數(shù)據(jù)：

11

≈3.31，

399

≈19.99，

41

≈6.40．）

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,基本不等式

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得AB?面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，由此能證明人行小道所在直線與直線AB平行．
（Ⅱ）以D′為原點，D′A′、D′C′、D′D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出sinα的值．
（Ⅲ）四棱柱部分的外部裝修費用w₁=[4×10×（20-x）]×300，三棱柱部分的外部裝修費用w₂=2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400，由此能求出該閩南式大屋外部裝修的最少需要26萬費用．

解答： （Ⅰ）證明：依題意，人行小道所在直線在面ABEF內(nèi)，
∵AB∥A′B′，A′B′在地面上，AB∥在地面，
∵AB?面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，
∴人行小道所在直線與直線AB平行．
（Ⅱ）解：據(jù)三視圖知，AB=10，A′A=20-

11

，
以D′為原點，D′A′、D′C′、D′D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，
則A(10，0，20-

11

)，B（10，10，20-

11

），E（5，0，20），
∴

AB

=(0，10，0)，

AE

=(-5，0，

11

)，
設

n

=(x0，y0，z0)為平面ABFE的法向量，
則

n • AB =10y0=0 n • AE =-5x0+ 11 z0=0

，取x0=

11

，得

n

=(

11

，0，5)．
取建筑物內(nèi)墻角所在直線的方向向量為

m

=(0，0，1)，
則sinα=|cos＜

m

，

n

＞|=

5

11+25

=

5

6

．
（Ⅲ）解：四棱柱部分的外部裝修費用w₁=[4×10×（20-x）]×300，
三棱柱部分的外部裝修費用w₂=2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400
∴該閩南式大屋外部裝修費用w（x）=w₁+w₂
=[4×10×（20-x）]×300+2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400
=8000(30-x+

x2+25

)，
令0.6≤

x2+25

10

≤0.64，解得

11

≤x≤

399

5

，
∵-x+

x2+25

=

25

x+ x2+25

在[

11

，

399

5

]單調(diào)遞減，
∴當x=

399

5

時，w（x）取得最小值，
∵題設要求裝修費用精確到萬元，∴取x=4，
得w（x）=8000(30-4+

41

)≈8000（26+6.4）≈259200≈260000．
∴該閩南式大屋外部裝修的最少需要26萬費用．

點評：本題考查人行小道所在的直線與直線AB平行，考查線面角正弦值的求法，考查閩南式大屋外部裝修的最少費用的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．