Question

已知拋物線C：x²=2y．
（Ⅰ）若P為直線l：x-y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線PQ交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求以A、B為切點(diǎn)的切線方程，再設(shè)出P（x₀，x₀-1），代入兩條切線方程，得x₀-1=x₀x₁-y₁．x₀-1=x₀x₂-y₂．故直線AB的方程為x₀-1=x₀x-y，過(guò)定點(diǎn)（1，1）
（Ⅱ）先寫出直線PQ的方程，代入拋物線方程，得關(guān)于x的一元二次方程，為利用韋達(dá)定理準(zhǔn)備條件，再設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），再2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2x₀=0，最后利用韋達(dá)定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，x₀-1），由x2=2y，得y′=x．因此y′|x=x1=x1
拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)P（x₀，x₀-1），所以x₀-1=x₁x₀-y₁，
即（x₁-1）x₀+1-y₁=0．同理，（x₂-1）x₀+1-y₂=0．
可見，點(diǎn)A、B在直線（x-1）x₀+1-y=0上．令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1，
所以，直線AB過(guò)定點(diǎn)Q（1，1）；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，x₀-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直線PQ的方程為y=

(x0-1)-1

x0-1

(x-1)+1，即y=

x0-2

x0-1

x+

1

x0-1

．
由

y= x0-2 x0-1 x+ 1 x0-1 x2=2y

，消去y，
得x2-

2(x0-2)

x0-1

x-

2

x0-1

=0．
由韋達(dá)定理，x3+x4=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

．
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

? x3-x0 x4-x0 = 1-x3 x4-1 ?(x3-x0)(x4-1)=(x4-x0)(1-x3) ?2x3x4-(x3+x4)-x0(x3+x4)+2x0=0(*)

將x3+x4=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

代入方程（*）的左邊，得
（*）的左邊=-

4

x0-1

-

2(x0-2)

x0-1

-

2x0(x0-2)

x0-1

+2x0=

-4-2x0+4-2 x 2 0 +4x0+2 x 2 0 -2x0

x0-1

=0
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質(zhì)，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理在解題時(shí)的重要運(yùn)用，還要有較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力．