Question

已知點A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0）．直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為-1．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞0）的兩直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，求h的值；
（3）在x軸上是否存在兩個定點C，D，使得點M到點C的距離與到點D的距離的比恒為

2

2

，若存在，求出定點C，D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用斜率之積為-1，建立方程化簡可得結(jié)論；
（2）分四種情況討論，設(shè)出直線方程，利用直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，建立方程，即可求h的值；
（3）假設(shè)存在，利用點M到點C的距離與到點D的距離的比恒為

2

2

，建立等式，化簡可求定點C，D．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則
∵點A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為-1，
∴

y-0

x-(-1)

•

y-0

x-1

=-1(x≠±1)，化簡得x²+y²=1（x≠±1）；
（2）分四種情況討論．
①當(dāng)直線l₁和l₂都與E相切時，直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，設(shè)直線l₁的方程為y=kx+h，即kx-y+h=0，
∵l₁⊥l₂，直線l₂的方程為x+ky-kh=0，
∵直線l₁和l₂都與E相切，∴

|h| 1+k2 =1 |-kh| 1+k2 =1

，解得h=

2

；
②當(dāng)直線l₁過點A，直線l₂過點B時，直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，此時直線l₁的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=h，直線l₂的斜率k2=

h-0

0-1

=-h，
∵l₁⊥l₂，∴-h²=-1，∵h(yuǎn)＞0，∴h=-1；
③當(dāng)直線l₁過點A，直線l₂與E相切，直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，此時直線l₁的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=h，直線l₂的斜率為-

1

h

，
∴直線l₂的方程為y=-

1

h

x+h，即x+hy-h²=0，∴

|-h2|

1+h2

=1，∴h=

1+ 5 2

；
④當(dāng)直線l₂過點B，直線l₁與E相切，直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，此時直線l₂的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=-h，直線l₁的斜率為

1

h

，
∴直線l₁的方程為y=

1

h

x+h，即x-hy+h²=0，

|h2|

1+h2

=1，∴h=

1+ 5 2

，
綜上所述，h的值為

2

，1，

1+ 5 2

；
（3）假設(shè)存在，設(shè)C（m，0），D（n，0），M（x，y），則
∵點M到點C的距離與到點D的距離的比恒為

2

2

，
∴

(x-m)2+y2

(x-n)2+y2

=

1

2

，
∵x²+y²=1，
∴

1-2mx+m2

1-2nx+n2

=

1

2

，
∴（2n-4m）x+2+2m²-n²=0，
∴

2n-4m=0 2+2m2-n2=0

，∴

m=1 n=2

或

m=-1 n=-2

，
∴存在C（1，0），D（2，0）或C（-1，0），D（-2，0），使得點M到點C的距離與到點D的距離的比恒為

2

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橫成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．