Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）設(shè)a＞-1，且當x∈[-

a

2

，

1

2

]時，f（x）＜g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=-2時，f（x）＜g（x）?|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，作出其圖象，即可求得不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）當x∈[-

a

2

，

1

2

），f（x）=1+a，不等式f（x）＜g（x）化為1+a≤x+3，依題意，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（I）當a=-2時，不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，
則y=

-5x，x＜ 1 2 -x-2， 1 2 ≤x≤1 3x-6，x＞1

，

其圖象如圖，從圖象可知，當且僅當x∈（0，2）時，y＜0，
∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}；
（Ⅱ）當x∈[-

a

2

，

1

2

），f（x）=1+a，不等式f（x）＜g（x）化為1+a≤x+3，
∴x≥a-2對x∈[-

a

2

，

1

2

）都成立，故-

a

2

≥a-2，即a≤

4

3

．
∴a的取值范圍是（-1，

4

3

]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查作圖分析問題、解決問題的能力，突出恒成立問題的考查，屬于中檔題．