Question

【題目】如圖，圓C與x軸相切于點T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點M，N（點M在點N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點M任作一條直線與橢圓 相交于兩點A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標為（2，r）． ∵|MN|=3，∴ ，解得 ，
故圓C的方程為 ．
（Ⅱ）把x=0代入方程 ，解得y=1或y=4，
即點M（0，1），N（0，4）．
①當AB⊥y軸時，由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM．
②當AB與y軸不垂直時，可設直線AB的方程為y=kx+1．
聯立方程 ，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．
設直線AB交橢圓Γ于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點，
則 ， ．
∴ =0，
∴∠ANM=∠BNM．
綜上所述，∠ANM=∠BNM．

【解析】（Ⅰ）設圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標為（2，r），根據|MN|=3，利用弦長公式求得r的值，可得圓C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標，當AB⊥y軸時，由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM，當AB與y軸不垂直時，可設直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．