Question

已知矩形ABCD所在的平面和梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥FE，G、H分別為AB、CF的中點，AB=2，AD=EF=1，∠AFB=

π

2

．
（1）求證：GH∥平面DAF；
（2）AF⊥平面BFC；
（3）求平面CBF將幾何體EFABCD分成兩個錐體F-ABCD與F-BCE的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DF的中點為M，連接AM，MH，證明四邊形MHGA為平行四邊形⇒AM∥GH即可；
（2）可以先由平面ABCD⊥平面ABEF以及CB⊥AB證得CB⊥平面ABEF，⇒AF⊥CB．又因為AB為圓O的直徑⇒AF⊥BF，就可證：AF⊥平面CBF；
（3）先把兩個錐體的體積套公式求出來，就可求出其體積之比．

解答： （1）證明：設(shè)DF的中點為M，連接AM，MH
則MH∥CD，MH=

1

2

CD，
又矩形ABCD中，G是中點，∴MH∥AG，MH=AG，
∴四邊形MHGA為平行四邊形，
∴AM∥GH，
又AM?平面DAF，GH?平面DAF，
∴GH∥平面DAF；
（2）證明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，得CB⊥平面ABEF，
而AF?平面ABEF，∴AF⊥CB
∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
又BF∩CB=B，∴AF⊥平面CBF；
（3）解：過點F作FO⊥AB于O，∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FO⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD=2V_F-ACD=2V_D-AFB=

2

3

FO
∵CB⊥平面ABEF，
∴V_F-CBE=V_C-FBE=

1

3

•

1

2

•EF•FO•CB=

1

6

FO
∴V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1．

點評：本題是對立體幾何知識的綜合考查，涉及到線面垂直，線面平行和棱錐體積公式．是道綜合性極強的好題．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．