Question

【題目】已知函數(shù)（a∈R）．

（1）若曲線y=f（x）在x=e處切線的斜率為﹣1，求此切線方程；

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求a的取值范圍，并證明：x1x2＞x1+x2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的值以及切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，從而證明結(jié)論．

（1）∵f'（x）=lnx﹣ax，∴f'（e）=1﹣ae=﹣1，解得，

∴f（e）=﹣e，故切點(diǎn)為（e，﹣e），所以曲線y=f（x）在x=e處的切線方程為x+y=0．

（2）證明：f'（x）=lnx﹣ax，令f'（x）=0，得．令，

則，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0；當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0；x＞1時(shí)，g（x）＞0．令g'（x）=0，得x=e，且當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0．

故g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，所以．

所以當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，f（x）沒有極值點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是．

因?yàn)閤1，x2是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以即…①

不妨設(shè)x1＜x2，則1＜x1＜e，x2＞e，

因?yàn)間（x）在（e，+∞）遞減，且x1+x2＞x2，所以，即…②．由①可得lnx1+lnx2=a（x1+x2），即，

由①，②得 ，所以