Question

函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，實(shí)數(shù)x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)1≤x≤4時(shí)，

OM

•

ON

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x-1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2-x，-y），可得f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．由于不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y），再利用函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，可得x²-2x≥y²-2y，即

x≥y x+y-2≥0

或

x≤y x+y-2≤0

．由于1≤x≤4，可畫(huà)出可行域．由M（1，2），N（x，y），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用數(shù)量積運(yùn)算可得

OM

•

ON

=x+2y=t．進(jìn)而得出答案．

解答： 解：設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x-1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2-x，-y），
∴f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．
∴不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（1-1-2y+y²）=f（y²-2y），
∵函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，
∴x²-2x≥y²-2y，
化為（x-1）²≥（y-1）²，
即

x≥y x+y-2≥0

或

x≤y x+y-2≤0

．
又∵1≤x≤4，畫(huà)出可行域．
M（1，2），N（x，y），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OM

•

ON

=x+2y=t．
化為y=-

1

2

x+

t

2

．
由圖可知：當(dāng)直線y=-

1

2

x+

t

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，-2）時(shí)，t取得最小值0．
當(dāng)直線y=-

1

2

x+

t

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，4）時(shí)t取得最大值4+2×4，即12．
綜上可得：

OM

•

ON

的取值范圍是[0，12]．
故答案為：[0，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、線性規(guī)劃的可行域及其最值、直線的平移等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．