【題目】凸邊形玫瑰園的個(gè)頂點(diǎn)各栽有1棵紅玫瑰,每?jī)煽眉t玫瑰之間都有一條直小路想通,這些直小路沒(méi)有出現(xiàn)“三線共點(diǎn)”的情況——它們把花園分割成許多不重疊的區(qū)域(三角形、四邊形、……),每塊區(qū)域都栽有一棵白玫瑰(或黑玫瑰).
(1)求出玫瑰園里玫瑰總棵樹(shù)的表達(dá)式.
(2)花園里能否恰有99棵玫瑰?說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)解法1:玫瑰園的直小路組成一個(gè)凸邊形及其對(duì)角線,易知圖中對(duì)角線有條.又由對(duì)角線無(wú)“三線共點(diǎn)”知,對(duì)角線在形內(nèi)的交點(diǎn)有個(gè).下面先求邊形內(nèi)的區(qū)域塊數(shù),可得.
現(xiàn)取掉對(duì)角線,記與其他對(duì)角線有個(gè)交點(diǎn),則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.
在中取掉對(duì)角線,記在中與其他對(duì)角線(不包括)有個(gè)交點(diǎn),則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.
依此類推,每次都在剩下的圖形中取掉一條對(duì)角線.當(dāng)取掉最后一條對(duì)角線時(shí),其上再無(wú)與其他剩下對(duì)角線的交點(diǎn),圖形減少了1塊區(qū)域,最后還剩下1塊區(qū)域,有.求和.
從而,.
解法2:在每?jī)身旤c(diǎn)間連一條弧線,新增加了塊弓形區(qū)域,設(shè)想每一塊弓形區(qū)域移栽頂點(diǎn)上的紅玫瑰,則玫瑰的棵樹(shù)就是區(qū)域的塊數(shù).這個(gè)問(wèn)題正是本刊1999年第3期數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(38)中的一道題,現(xiàn)給出一種新的證法.
考慮與的遞推關(guān)系(如圖所示).
對(duì)個(gè)點(diǎn)的情況增加一點(diǎn)時(shí),與前個(gè)點(diǎn)有條連線(上圖中虛線),此時(shí)圖中共有個(gè)對(duì)角線交點(diǎn),共增加新交點(diǎn)個(gè).由于每一條連線與原邊形中的邊或?qū)蔷有個(gè)交點(diǎn)時(shí),這些交點(diǎn)便把分成條互不重疊的小線段,每條這樣的小線段都把所在的區(qū)域一分為二,所以,連線就增加了塊區(qū)域.求和
從而,
(2)通項(xiàng)公式可以改寫(xiě)成
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程
的求解.變形,
即
因?yàn)?/span>為正整數(shù),有.
解得.
所以,當(dāng)時(shí),玫瑰園恰有99棵玫瑰.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高速公路服務(wù)區(qū)臨時(shí)停車場(chǎng)按時(shí)段收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每輛汽車一次停車不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)5元,超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)7元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該服務(wù)區(qū)臨時(shí)停車,兩人停車都不超過(guò)4小時(shí).
(1)若甲停車1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為,停車付費(fèi)多于12元的概率為,求甲停車付費(fèi)恰為5元的概率;
(2)若每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同,求甲、乙兩人停車付費(fèi)之和為38元的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)的最大值是2,求實(shí)數(shù)的值;
(3)求函數(shù)的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出如圖所示的三幅統(tǒng)計(jì)圖及四個(gè)命題:
①?gòu)恼劬圖能看出世界人口的變化情況;
②2050年非洲人口將達(dá)到大約15億;
③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多;
④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢.
其中命題正確的有( )
A.①②B.①③C.①④D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】12個(gè)朋友每周聚餐一次,每周他們分成三組,每組4人,不同組坐不同的桌子.若要求這些朋友中任意兩個(gè)人至少有一次同坐一張桌子,則至少需要周____周.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校調(diào)查喜歡“統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了55個(gè)學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:
喜歡 | 不喜歡 | 總計(jì) | |
男生 | 20 | ||
女生 | 20 | ||
總計(jì) | 30 | 55 |
(1)完成表格的數(shù)據(jù);
(2)判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜歡“統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?
參考公式:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是自然數(shù)1,2,…,的一個(gè)排列,且滿足:對(duì)任意,均有.
(1)若記為數(shù)在排列中所處位置的序號(hào)(如排列中,,,,).求證:對(duì)每一個(gè)滿足題意的排列,均有成立.
(2)試求滿足題意的排列的個(gè)數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種色可供使用,則不同的染色方法種數(shù)為( )
A.240B.360C.420D.960
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解某省各景點(diǎn)在大眾中的熟知度,隨機(jī)對(duì)15~65歲的人群抽樣了人,回答問(wèn)題“某省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)?”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表
組號(hào) | 分組 | 回答正確 的人數(shù) | 回答正確的人數(shù) 占本組的頻率 |
第1組 | [15,25) | 0.5 | |
第2組 | [25,35) | 18 | |
第3組 | [35,45) | 0.9 | |
第4組 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5組 | [55,65] | 3 |
(1)分別求出的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人,求所抽取的人中恰好沒(méi)有第3組人的概率.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com