Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（3）當時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；(3) .

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間， 的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間；（2）先構(gòu)造函數(shù)再由以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，知導(dǎo)函數(shù)恒成立，再轉(zhuǎn)化為求解；（3）先把握有唯一實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解.

試題解析：（1）依題意，知的定義域為，

當時， ，

令，解得或（舍去），

當時， ；當時， ，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）由題意知，則有在（0,3）上恒成立，所以，當x0=1時， 取得最大值，

所以

（3）當時， ，

由，得，又，所以，

要使方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，

只需有唯一實數(shù)解

令，∴，由得； ，得，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

，故 .

【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.