【題目】已知函數(shù)存在兩個極值點.

(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)分別是的兩個極值點且,證明:

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)對原函數(shù)求導(dǎo),即該導(dǎo)函數(shù)在有兩個不同根,對該導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)只有一個零點,分a = 0a < 0,a > 0三種情況討論即可.

(Ⅱ)要證,即證

,得.

所以原命題等價于證明

因為,故只需證,即

,則,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.

試題解析:(Ⅰ)由題設(shè)函數(shù)的定義域為, ,故函數(shù)有兩個極值點等價于其導(dǎo)函數(shù)有兩個零點.

當(dāng)a = 0,顯然只有1個零點.當(dāng)a0時,令,那么

a < 0,則當(dāng)x > 0,即單調(diào)遞增,所以無兩個零點. 3

a > 0,則當(dāng), 單調(diào)遞增;當(dāng) 單調(diào)遞減,所以. ,當(dāng)x0時→,故若有兩個零點,則,得

綜上得,實數(shù)a的取值范圍是

(Ⅱ)要證,兩邊同時取自然對數(shù)得

,得.

所以原命題等價于證明

因為,故只需證,即

,則,設(shè),只需證.… 10

,故單調(diào)遞增,所以

綜上得

點晴:本題主要考查函數(shù)極值,不等式證明問題.要求極值,求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù),分a = 0a < 0,a > 0三種情況討論極值情況,要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進(jìn)而求解得結(jié)果.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=loga(3﹣ax)(a>0,a≠1)
(1)當(dāng)a=3時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若g(x)=f(x)﹣loga(3+ax),請判定g(x)的奇偶性;
(3)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)在[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以下四個命題,其中正確的個數(shù)有( )

①由獨立性檢驗可知,有的把握認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān),某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,則他有99%的可能物理優(yōu)秀.

②兩個隨機變量相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;

③在線性回歸方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個單位時,預(yù)報變量平均增加0.2個單位;

④對分類變量,它們的隨機變量的觀測值來說, 越小,“有關(guān)系”的把握程度越大.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=log2 . (Ⅰ)判斷f(x)奇偶性并證明;
(Ⅱ)用單調(diào)性定義證明函數(shù)g(x)= 在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)單調(diào)遞增,并判斷f(x)=log2 在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知函數(shù)f(x)=(x﹣l)(log3a)2﹣6(log3a)x+x+l在x∈[0,l]內(nèi)恒為正值,則a的取值范圍是(
A.﹣1<a<
B.a<
C.a>
D. <a<

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若α∈[0,π],β∈[﹣ , ],λ∈R,且(α﹣ 3﹣cosα﹣2λ=0,4β3+sinβcosβ+λ=0,則cos( +β)的值為(
A.0
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)圖象上的任意兩點,且角φ的終邊經(jīng)過點P(1,﹣ ),若|f(x1)﹣f(x2)|=4時,|x1﹣x2|的最小值為
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若方程3[f(x)]2﹣f(x)+m=0在x∈( , )內(nèi)有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一個元素,則實數(shù)k的取值集合為(
A.{﹣1}
B.{0}
C.{﹣1,0}
D.(﹣∞,﹣1]∪{0}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列命題:
①已知集合M滿足M{1,2,3},且M中至少有一個奇數(shù),這樣的集合M有6個;
②已知函數(shù)f(x)= 的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是(﹣12,0);
③函數(shù)f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0且a≠1)圖象恒過定點(4,2);
④已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f(3+t)=f(3﹣t),則f(1)>f(4)>f(3).
其中正確的命題序號是(寫出所有正確命題的序號)

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