Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），記b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（I）試求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中的計(jì)算結(jié)果，猜想數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）由于a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），可得b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）的值歸納得：$_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），
∴b₁=1-a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，b₂=$\frac{3}{4}（1-{a}_{2}）$=$\frac{4}{6}$，$_{3}=\frac{2}{3}×（1-{a}_{3}）$=$\frac{5}{8}$，$_{4}=\frac{5}{8}（1-{a}_{4}）$=$\frac{6}{10}$．
（2）由（1）的值歸納得：$_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，b₁=$\frac{3}{4}$=$\frac{1+2}{2×（1+1）}$，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即$_{k}=\frac{k+2}{2（k+1）}$．
當(dāng)n=k+1時，b_k+1=b_k（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{k+2}{2（k+1）}×\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$=$\frac{（k+1）+2}{2[（k+1）+1]}$，
即當(dāng)n+1時，等式也成立．
由①②知，對任何正整數(shù)n有得：$_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．