Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，函數(shù)解析式為f（x）=

1

4x

-

1

2x

（b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．利用已知條件以及函數(shù)的奇偶性即可求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）通過換元法化簡函數(shù)f（x）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解在[0，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1]上的解析式為f（x）=2^x-4^x…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
當(dāng)t=1時(shí)，取最大值為1-1=0．
所以，函數(shù)在[0，1]上的最大值分別為0…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的最值的求法，奇偶性的應(yīng)用，基本知識的考查．