Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率為.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓：相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．①若，求的面積；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：是定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得，，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得的坐標(biāo)，聯(lián)立圓方程可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標(biāo)，①由可得，求得，坐標(biāo)，以及，，由的面積為，計(jì)算可得；②運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，分別計(jì)算線的斜率為，直線的斜率為，即可得證.

（1）據(jù)題意，橢圓的離心率為，即.①

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即，

由原點(diǎn)到直線的距離為，可知，

即.③

聯(lián)立①②可得，，，故.

所以橢圓的方程為.

（2）據(jù)題意，直線的斜率存在，且不為0，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立，整理可得，

所以或.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

聯(lián)立和，

整理可得，所以或.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

顯然，是圓的直徑，故，

所以直線的方程為.

用代替，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即.

①由可得，，

即，解得.

根據(jù)圖形的對(duì)稱性，不妨取，

則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

故，.

所以的面積為.

②證明：直線的斜率，

直線的斜率.

所以為定值，得證.