Question

7．設(shè)關(guān)于x的兩個方程x²-ax+1=0，x²-bx+1=0的四個根組成以2為公比的等比數(shù)列，則ab=$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)以2為公比成等比數(shù)列的四個根依次為m，2m，4m，8m（m≠0）．
則根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得m•8m=2m•4m，
∵兩方程的常數(shù)項(xiàng)均為1，
∴m•8m=2m•4m=1，
即m²=$\frac{1}{8}$．
不妨設(shè)m、8m是方程x²-ax+1=0的兩根，
而2m、4m是方程x²-bx+1=0的兩根，
則a=m+8m=9m，b=2m+4m=6m
則ab=9m×6m=54m²=$\frac{1}{8}$×54=$\frac{27}{4}$．
故答案為：$\frac{27}{4}$

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．