【題目】有限個(gè)元素組成的集合為,,集合中的元素個(gè)數(shù)記為,定義,集合的個(gè)數(shù)記為,當(dāng),稱集合具有性質(zhì).

(1)設(shè)集合具有性質(zhì),判斷集合中的三個(gè)元素是否能組成等差數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2) 設(shè)正數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,其中,數(shù)列中的前項(xiàng):組成的集合記作,將集合中的所有元素從小到大排序,即滿足,求;

(3) 己知集合,其中數(shù)列是等比數(shù)列,,且公比是有理數(shù),判斷集合是否具有性質(zhì),說(shuō)明理由.

【答案】(1)否,見(jiàn)解析;(2);(3)具有性質(zhì),理由見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)集合具有性質(zhì),可以得到、以及的元素性質(zhì),運(yùn)用反證法可以判斷出集合中的三個(gè)元素不能組成等差數(shù)列;

2)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,根據(jù)題意寫出集合,根據(jù)題目中所給的定義,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出;

3)只要能夠證明當(dāng)時(shí),不成立,運(yùn)用反證法結(jié)合整除的知識(shí),就可以判斷出集合具有性質(zhì).

1)集合中的三個(gè)元素不能組成等差數(shù)列,理由如下:

因?yàn)榧?/span>具有性質(zhì),所以,由題中所給的定義可知:中的元素應(yīng)是:6個(gè)元素應(yīng)該互不相等,假設(shè)中的三個(gè)元素能構(gòu)成等差數(shù)列,不妨設(shè)成等差數(shù)列,這時(shí)有

這與集合元素集合中的6個(gè)元素互不相等矛盾,其它二種情況也是一樣,故中的三個(gè)元素不能能構(gòu)成等差數(shù)列;

2,得:

,說(shuō)明數(shù)列從第二項(xiàng)起,數(shù)列是等差數(shù)列,

因?yàn)?/span>,,所以有,所以,顯然也成立,因此.

所以

,顯然

根據(jù)定義在之間增加的元素個(gè)數(shù)為:,這樣包括在內(nèi)前面一共有個(gè)元素.

當(dāng)時(shí),包括在內(nèi)前面共有2016個(gè),顯然不到第2020個(gè)數(shù),所以只有當(dāng)時(shí),能找到

因此;

3)集合具有性質(zhì),理由如下:設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以通項(xiàng)公式為:,為有理數(shù).

設(shè)假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,則有

,

因?yàn)?/span>為有理數(shù),所以設(shè)互質(zhì),因此有

,

式子的左邊是的倍數(shù),右邊是的倍數(shù),而互質(zhì),顯然不成立,因此集合中的元素個(gè)數(shù)為:,因此它符合已知所下的定義,因此集合是否具有性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.4B.5C.6D.7

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(例如:.

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2)對(duì)數(shù)列中小于1的各項(xiàng),按以下規(guī)則排列:①各項(xiàng)不做化簡(jiǎn)運(yùn)算;②分母小的項(xiàng)排在前面;③分母相同的兩項(xiàng),分子小的項(xiàng)排在前面,得到數(shù)列,求數(shù)列的前10項(xiàng)的和,前2019項(xiàng)的和

3)對(duì)數(shù)列中所有整數(shù)項(xiàng),由小到大取前2019個(gè)互不相等的整數(shù)項(xiàng)構(gòu)成集合,的子集滿足:對(duì)任意的,有,求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

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A.①②④B.①②C.③④D.②④

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