【題目】已知函數f(x)=2x-.
(1)判斷函數的奇偶性,并證明;
(2)用單調性的定義證明函數f(x)=2x-在(0,+∞)上單調遞增.
【答案】(1)函數f(x)=2x-是奇函數.
證明如下:易知f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱.
因為f(-x)=2(-x)-=-2x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函數.
(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=2x2--=2(x2-x1)+5=(x2-x1),
因為0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上單調遞增.
【解析】
(1)由定義判斷與的關系,即可判斷函數奇偶性;
(2)由定義證明單調性,假設定義域內的兩自變量的值,作差求的符號,進而判斷單調性.
(1)函數f(x)=2x-是奇函數.
證明如下:易知f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱.
因為f(-x)=2(-x)-=-2x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函數.
(2)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
則f(x2)-f(x1)
=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1),
因為0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上單調遞增.
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【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數據(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖,考慮以下結論:
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫;
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫;
③甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的平均氣溫的標準差;
④甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的平均氣溫的標準差,
其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【題目】在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0.若點B的坐標為(1,2),求點A和點C的坐標.
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【題目】已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為.
(1)若,過點, 的直線與拋物線相交于另一點,求的值;
(2)若直線與拋物線相交于兩點,與圓相交于兩點, 為坐標原點, ,試問:是否存在實數,使得的長為定值?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明:“活水圍網”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數.當不超過尾/立方米時, 的值為千克/年;當時, 是的一次函數,且當時, .
()當時,求關于的函數的表達式.
()當養(yǎng)殖密度為多大時,每立方米的魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?并求出最大值.
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【題目】已知奇函數f(x)=的定義域為R,其中g(x)為指數函數,且過定點(2,9).
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若對任意的t∈[0,5],不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立,求實數k的取值范圍.
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【題目】二戰(zhàn)中盟軍為了知道德國“虎式”重型坦克的數量,采用了兩種方法,一種是傳統的情報竊取,一種是用統計學的方法進行估計,統計學的方法最后被證實比傳統的情報收集更精確,德國人在生產坦克時把坦克從1開始進行了連續(xù)編號,在戰(zhàn)爭期間盟軍把繳獲的“虎式”坦克的編號進行記錄,并計算出這些編號的平均值為675.5,假設繳獲的坦克代表了所有坦克的一個隨機樣本,則利用你所學過的統計知識估計德國共制造“虎式”坦克大約有( )
A.1050輛
B.1350輛
C.1650輛
D.1950輛
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【題目】某某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區(qū)間[40,50)內的人數;
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.
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