Question

13．已知f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$（b＜0）的值域?yàn)閇1，3]．
（1）求b，c的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)法化簡f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$；運(yùn)用判別式大于等于0，從而求b，c．
（2）利用（1）化簡函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$；
∴-1≤$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$≤1；
∴y=$\frac{bx+c-2}{{x}^{2}+1}$（x∈R）即為
yx²-bx+y-c+2=0有實(shí)根．
即有判別式△≥0，即有b2-4y（y-c+2）≥0，
即有4y²-4（c-2）y-b²≤0，
由-1，1是方程4y²-4（c-2）y-b²=0的兩根．
即有c=2，b=-2．
綜上所述，b=-2，c=2．
（2）f（x）在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減．
∵設(shè)u=f（x）=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
∵x∈[-1，1]
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．