Question

（09年朝陽(yáng)區(qū)二模文）（13分）

  如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點(diǎn)，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ) 求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：證明：（Ⅰ）因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337001.gif' width=37>底面，

所以是與平面所成的角，

由已知， 所以.

易求得，, 又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337008.gif' width=52>，

所以, 所以.

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337001.gif' width=37>底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)為中點(diǎn). 連結(jié)，由于底面，且平面，則平面平面.

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337025.gif' width=68>，所以平面.

過(guò)作，垂足為，連結(jié)，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337035.gif' width=49>，，，所以.

在中，因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174338040.gif' width=85>，所以，

所以二面角的大小為.………………………………13分

解法二:

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174337001.gif' width=37>底面，

所以是與平面所成的角，

由已知，

所以.

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

由已知，為中點(diǎn).

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，， .

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174338054.gif' width=195>, ,

所以，.

因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174338057.gif' width=88>，所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.

因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514174338064.gif' width=40>平面，所以是平面的法向量， 易得.

所以.

所以二面角的大小為.………………………………13分