Question

【題目】設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，

（1）當(dāng)時，求的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達式；

（3）若方程有四個不同的實根，且它們成等差數(shù)列，試探求與滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）與滿足的條件為且，或且，或且.

【解析】

（1）設(shè)、，利用已知函數(shù)的解析式，即可求得結(jié)論；

（2）因為是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間，上的最大值即為它在區(qū)間，上的最大值，分類討論，即可求得結(jié)論；

（3）設(shè)這四個根從小到大依次為，，，，則當(dāng)方程在，上有四個實根時，由，且，得，，從而，且要求對恒成立，由此可得結(jié)論．

解：（1）當(dāng)時，

同理，當(dāng)時，，

所以，當(dāng)時，的解析式為

（2）因為是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值，

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以

②當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減，

所以此時只需比較與的大小．

（i）當(dāng)時，，所以

（ii）當(dāng)時，，

所以

③當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，

所以.

綜上所述，．

（3）設(shè)這四個根從小到大依次為，，，．

①當(dāng)方程在上有四個實根時，由，且，得，，

從而，且要求對恒成立．

（i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以對恒成立，

即適合題意．

（ii）當(dāng)時，欲對恒成立，只要，

解得，故此時應(yīng)滿足．

②當(dāng)方程在上有兩個實根時，，且，，

所以必須滿足，且，，解得．

③當(dāng)方程在上無實根時，，，

由，，解得，，

所以，

且由，解得．

綜上所述，與滿足的條件為且，或且，

或且．