Question

9．如圖，已知正三棱錐V-ABC，底面積為16$\sqrt{3}$，一條側棱長為2$\sqrt{6}$，計算它的高和斜高．

Answer 1

分析 取AB中點D，連結CD，作VO⊥底面ABC，垂足為O，由已知求出AB=8，OC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，DO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由此利用勾股定理能求出它的高和斜高．

解答 解：取AB中點D，連結CD，作VO⊥底面ABC，垂足為O，
∵正三棱錐V-ABC，底面積為16$\sqrt{3}$，一條側棱長為2$\sqrt{6}$，
∴O∈CD，$\frac{1}{2}×AB×AB×sin60°$=$16\sqrt{3}$，解得AB=8，
∴OC=$\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{64-16}$=$\frac{2}{3}×4\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵側棱長VO=2$\sqrt{6}$，∴高VO=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵DO=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{64-16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴斜率VD=$\sqrt{V{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{66}}{3}$．

點評 本題考查正三棱錐的高和斜高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意勾股定理的合理運用．