Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax，且f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，g（x）=e^2x-ae^x-1
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求g（x）在區(qū)間[0，ln3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．
（2）通過函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過對對稱軸與定義域位置關(guān)系的討論，分情況求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴2x+$\frac{1}{x}$-a≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤2x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∴只需a≤（2x+$\frac{1}{x}$）_min即可．
∴2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號），
∴a≤2$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
設(shè)h（t）=t²-at-1=（t-$\frac{a}{2}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
其對稱軸t=$\frac{a}{2}$，由（1）得a$≤2\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{a}{2}$$≤\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
則當(dāng)1≤$\frac{a}{2}$$≤\sqrt{2}$，即2≤a≤2$\sqrt{2}$時，h（t）的最小值為h（$\frac{a}{2}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜1，即a＜2時，h（t）的最小值為h（1）=-a
所以，當(dāng)2$≤a≤2\sqrt{2}$時，g（x）的最小值為-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當(dāng)a＜2時，g（x）的最小值為-a．

點(diǎn)評 解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問題，常求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；通過換元法解題時，一定注意新變量的范圍．