【題目】如圖,在直三棱柱中, 分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且, , .
(1)求證: 平面;
(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由線面平行的判定定理證明;(2)利用空間直角坐標(biāo)系解題。
試題解析:
解:(1)(法一)連接交于點(diǎn),連接
由分別是棱中點(diǎn),故點(diǎn)為的重心
在中,有
,又平面
平面
(法二)取的中點(diǎn),連接
由是棱的中點(diǎn), 為的中點(diǎn),
為的中位線,即平面
又為棱的中點(diǎn), 為的中點(diǎn)
由,由,且為直三棱柱
,進(jìn)而得
,即平面
又 平面平面
又平面 平面
(2)由為直三棱柱
平面,取的中點(diǎn),連接
是棱的中點(diǎn), ,即平面
為等邊三角形
為的中點(diǎn) 且
故以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線分別為軸, 軸, 軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則
, ,
設(shè)平面的法向量為
則: ,不妨取,則
設(shè)平面的法向量為
則: ,不妨取,則
記二面角為
故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場購進(jìn)一種每件價(jià)格為90元的新商品,在商場試銷時(shí)發(fā)現(xiàn):銷售單價(jià)(元/件)與每天銷售量(件)之間滿足如圖所示的關(guān)系.
(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫出每天的利潤與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出售價(jià)定為多少時(shí),每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩圓的圓心分別為,P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線的斜率之積為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)A(2,0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和.
(1)試解釋的實(shí)際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為多少平方米時(shí),取得最小值?最小值是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P(1,2),且在處取得極值
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)在上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)f(x)-g(x)必有零點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)-1
①若函數(shù)G(x)有兩相異零點(diǎn)且在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
②是否存在整數(shù)a,b使得的解集恰好為若存在,求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的離心率為,且a2=2b.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l:x﹣y+m=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)m,使線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知圓錐曲線(為參數(shù))和定點(diǎn),、是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為,且、.若,則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則二人“心有靈犀”的概率為__________.
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