Question

15．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x≥0時，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）在R上的表達式；
（2）令g（x）=f（x），問是否存在大于零的實數(shù)a、b，使得當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)g（x）值域為$[{\frac{1}，\frac{1}{a}}]$，若存在求出a、b的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由定義知，f（-x）=-f（x）對任意實數(shù)x恒成立，結(jié)合當(dāng)≥0時，f（x）=-x²+2x，求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）假設(shè)存在滿足條件的a，b，則a，b必為方程g（x）=$\frac{1}{x}$的兩個解，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）由定義知，f（-x）=-f（x）對任意實數(shù)x恒成立．
令x=0，得f（0）=0…（1分）
當(dāng)x＜0時，f（x）=-f（-x）=（-x）²+2x=x²+2x
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$…（4分）
（2）∵a，b＞0，∴$\frac{1}{a}$≤1，∴a≥1，
∴當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減…（6分）
∴g（a）=$\frac{1}{a}$，g（b）=$\frac{1}$ …（7分）
∴a，b為g（x）=$\frac{1}{x}$的兩個解…（8分）
∴-x²+2x=$\frac{1}{x}$
∴x₁=1，x₂=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₃=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍） …（9分）
∴a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查求函數(shù)y=f（x）的解析式、函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，屬于中檔題．