Question

如圖，在△ABC中，AD是的∠A的平分線，圓O經(jīng)過點(diǎn)A與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC相交于E、F，連結(jié)DF，DE．
（Ⅰ）求證：EF∥BC；    
（Ⅱ）求證：DF²=AF•BE．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明EF∥BC，只需證明∠FDC=∠EFD，利用圓的切線的性質(zhì)可得；    
（Ⅱ）證明DF²=AF•BE，只需證明△AFD∽△DEB．

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)锽C是圓O的切線，所以∠FDC=∠FAD，
又因?yàn)椤螮AD=∠EFD，且∠EAD=∠FAD，
所以∠FDC=∠EFD，
所以EF∥BC．-----------（5分）
（Ⅱ） 連接ED，△AFD，△DEB中，∠EDB=∠EAD=∠FAD，∠BED=∠DFA，
所以△AFD∽△DEB，
所以

AF

DE

=

FD

EB

，
又因?yàn)镈E=DF，
所以DF²=AF•BE．-----------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的相似，考查圓的切線性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確判斷三角形相似是關(guān)鍵．