Question

如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=．
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大�。�
（Ⅲ）點(diǎn)P是線段EB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APF為直角時(shí)，求BP 的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圖形知，連接OF，證明EF⊥FB可通過證明FB⊥平面EOF，利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直；
（II）法一：由于平面EAD⊥平面ABCD，過點(diǎn)E向AD引垂線交AD于點(diǎn)O，連接OB，OF，延長(zhǎng)DF到點(diǎn)C，使CD=AB，可證得∠EFO為二面角A-BF-E的平面角，在Rt△EOF中，求出此角；
法二：取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，給出圖形中各點(diǎn)的用a表示的坐標(biāo)，求出兩平面EFB的法向量與平面ABCD的一個(gè)法向量，再由向量求夾角公式求出兩平面的夾角；
（Ⅲ）由（II）中的法二，利用向量求解，可設(shè)，（0≤t≤1）用引入的參數(shù)t表示出的坐標(biāo)，再由兩向量垂直的條件建立關(guān)于t的方程，求出t的值即可得到符合條件的點(diǎn)P的位置，從而求BP 的長(zhǎng)度
解答：解：（I）證明：連接OF，則，，，
所以O(shè)B²=OF²+FB²，即OF⊥FB．
又因?yàn)镋O⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）
方法一
（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，過點(diǎn)E向AD引垂線交AD于點(diǎn)O，連接OB，OF，延長(zhǎng)DF到點(diǎn)C，使CD=AB，
則，，，
所以O(shè)B²=OF²+FB²，即∠EFO為二面角A-BF-E的平面角，
在Rt△EOF中，EO=OF，所以．    （6分）
方法二：（II ）取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，
則，則，
則，
所以，，
可求得平面EFB的法向量為，
平面ABCD的一個(gè)法向量為，
則二面角A-BF-E的大小為θ，，即二面角為．          （6分）
（Ⅲ）設(shè)，（0≤t≤1）則==，同理，，（8分）
=，
由=0，解得t=或，
所以BP=．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)，如數(shù)量積為0與垂直的對(duì)應(yīng)，向量的共線與平行的對(duì)應(yīng)，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對(duì)應(yīng)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了待定系數(shù)建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識(shí)性綜合性強(qiáng)，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉(zhuǎn)化的能力，本題運(yùn)算量大，且多是符號(hào)運(yùn)算，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)