Question

如圖兩個共底面的相同的圓錐，底面圓心為O，頂點分別為S和P，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接矩形，連接SA，SD，PC，PB
（1）證明平面SAD∥平面PBC
（2）圓O的圓周上是否存在點M使平面SOM⊥平面SAD，若存在寫出存在的理由，并給予證明，若不存在說明理由．
（3）若SA=2，AB=BC=2，求三棱錐S-PBC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，SB，PD，證明四邊形SDPB是菱形，可得PB∥平面SDA，證明BC∥平面SDA，即可證明平面SAD∥平面PBC；
（2）過點O作直線AD的垂線交圓于兩個點都可以作為存在點M，即可證明平面SOM⊥平面SAD；
（3）利用V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO，即可求三棱錐S-PBC的體積．

解答： 證明：（1）連接BD，SB，PD，則
∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接矩形，
∴BD過圓心O，
∴S，D，P，B四點共面，
∵兩個共底面的相同的圓錐，
∴SD=DP=PB-BS，
∴四邊形SDPB是菱形，
∴PB∥SD，
∴PB∥平面SDA，
∵BC∥AD，
∴BC∥平面SDA，
∵PB∥平面SDA，BC∥平面SDA，PB∩BC=B，
∴平面SAD∥平面PBC
（2）解：過點O作直線AD的垂線交圓于兩個點都可以作為存在點M．
∵SO⊥圓O，
∴AD⊥SO，
∵AD⊥SO，AD⊥OM，OM∩SO=O，
∴AD⊥平面SOM，
∴平面SOM⊥平面SAD；
（3）解：∵AB=BC=2，
∴四邊形ABCD是圓O的邊長為2的內(nèi)接正方形，
∴V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO=

2 2

3

．

點評：本題考查平面與平面平行、垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．