Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求證：平面AEC⊥平面PDB．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由線面垂直得到PD⊥AD，由正方形性質得到AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，由此能證明AD⊥PC．
（2）由線面垂直得到PD⊥AC，由正方形性質得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能證明平面AEC⊥平面PDB．

解答： （本小題滿分12分）
證明：（1）因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PD⊥AD．（1分）
因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．（2分）
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，且PD∩CD=D，（3分）
所以AD⊥平面PCD．（4分）
又PC?平面PCD，故AD⊥PC．（6分）
（2）因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．（7分）
因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．（8分）
又PD?平面PDB，BD?平面PDB，且PD∩BD=D，（9分）
所以AC⊥平面PDB．（10分）
又AC?平面AEC，故平面AEC⊥平面PDB．（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．