分析 (Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,即可得到所求m的值;
(Ⅱ)不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1時(shí)恒成立,即m≥x+1-2(x+1)lnx在x≥1時(shí)恒成立.令g(x)=x+1-2(x+1)lnx(x≥1),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,即可得到最大值,令m不小于最大值即可.
解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=$\frac{2}{x}$-$\frac{m}{(x+1)^{2}}$,
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率k=f′(1)=2-$\frac{m}{4}$,
∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y-4x+1=0垂直,
∴2-$\frac{m}{4}$=-$\frac{1}{4}$,∴m=9;
(Ⅱ)依題意不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1時(shí)恒成立,
即m≥x+1-2(x+1)lnx在x≥1時(shí)恒成立.
令g(x)=x+1-2(x+1)lnx(x≥1),
則g′(x)=1-[2lnx+$\frac{2(x+1)}{x}$]=-$\frac{x+2+2xlnx}{x}$,
∴x≥1時(shí),g′(x)<0,
∴函數(shù)g(x)在[1,+∞)時(shí)為減函數(shù),
∴g(x)≤g(1)=2,∴m≥2
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞).
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式恒成立問(wèn)題,注意運(yùn)用分離參數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
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A. | 11 | B. | 13 | C. | 15 | D. | 17 |
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A. | P=$\frac{4M}{N}$ | B. | P=$\frac{N}{4M}$ | C. | P=$\frac{M}{N}$ | D. | p=$\frac{N}{M}$ |
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滿意度 品牌 | 滿意 | 不滿意 |
A | 80% | 20% |
B | 60% | 40% |
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A. | (0,2) | B. | ﹙0,$\frac{2}{3}$﹚ | C. | ﹙$\frac{2}{3}$,2] | D. | [$\frac{2}{3}$,2] |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | -1 | D. | -2 |
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A. | 9 | B. | 10 | C. | 11 | D. | 12 |
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A. | sinα<0 | B. | cosα<0 | C. | sin2α<0 | D. | cos2α<0 |
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