10.已知函數(shù)f(x)=2lnx+$\frac{m}{x+1}$.
(I)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y-4x+1=0垂直時(shí),求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若x≥1時(shí),f(x)≥1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,即可得到所求m的值;
(Ⅱ)不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1時(shí)恒成立,即m≥x+1-2(x+1)lnx在x≥1時(shí)恒成立.令g(x)=x+1-2(x+1)lnx(x≥1),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,即可得到最大值,令m不小于最大值即可.

解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=$\frac{2}{x}$-$\frac{m}{(x+1)^{2}}$,
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率k=f′(1)=2-$\frac{m}{4}$,
∵函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y-4x+1=0垂直,
∴2-$\frac{m}{4}$=-$\frac{1}{4}$,∴m=9;                                              
(Ⅱ)依題意不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1時(shí)恒成立,
即m≥x+1-2(x+1)lnx在x≥1時(shí)恒成立.
令g(x)=x+1-2(x+1)lnx(x≥1),
則g′(x)=1-[2lnx+$\frac{2(x+1)}{x}$]=-$\frac{x+2+2xlnx}{x}$,
∴x≥1時(shí),g′(x)<0,
∴函數(shù)g(x)在[1,+∞)時(shí)為減函數(shù),
∴g(x)≤g(1)=2,∴m≥2
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式恒成立問(wèn)題,注意運(yùn)用分離參數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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滿意度
品牌
滿意不滿意
A80%20%
B60%40%
(Ⅰ)隨機(jī)選取1名該校學(xué)生,估計(jì)該生持有A品牌手機(jī)的概率;
(Ⅱ)隨機(jī)選取1名該校學(xué)生,估計(jì)該生持有A或B品牌手機(jī)且感到滿意的概率;
(Ⅲ)A,B兩種品牌的手機(jī)哪種市場(chǎng)前景更好?(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必證明)

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15.已知分段函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(x-2)^{2},x≤4}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x+6,x>4}\end{array}\right.$,若關(guān)于x的方程f(x)-kx-2k=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是(  )
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