Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₂=3，a₄+a₅=16．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=${2}^{{a}_{n}-1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₂=3，a₄+a₅=16．
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{2{a}_{1}+7d=16}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
即{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．（6分）
（2）由（1）知b_n=2^2n-2，b₁=1，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．