Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=2，S₃=7．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1（n∈N^*），數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n，求證T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式聯(lián)立方程求得a₁和為q，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）把（I）中求得的a_n代入到c_n中，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)之和T_n，即可證明結(jié)論．

解答： （I）解：設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，
由條件可得a₁q=2，a₁+a₁q+a₁q²=7
∵q＞1，
∴q=2，a₁=1，∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）證明：∵b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

≥1-

1

2

＞

3

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生對數(shù)列基本知識的掌握