Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，
（2）討論方程f（x）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）令f′（x）=0，解出x，在函數(shù)的定義域內(nèi)列表判斷，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可；
（2）根據(jù)f（x）的極大值為

8

3

，f（x）的極小值為-8，即可討論方程f（x）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=0，可得x=-1或3
列表如下

x	（-∞，-1），	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	↗	極大值 8 3	↘	極小值-8	↗

f（x）的增區(qū)間為 （-∞，-1），（3，+∞），f（x）的減區(qū)間為（-1，3）
f（x）的極大值為

8

3

，f（x）的極小值為-8；
（2）∵f（x）的極大值為

8

3

，f（x）的極小值為-8
①a＜-8或a＞

8

3

時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，方程有一個(gè)實(shí)根；
②a﹦-8或a=

8

3

時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)實(shí)根；
③-8＜a＜

8

3

時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．