Question

已知m∈R，設(shè)命題p：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，方程

x2

m+2

+

y2

3-m

=1表示的曲線為雙曲線；命題q：函數(shù)f（x）=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上存在極值．求使“p且q”為真命題時(shí)的m的取值范圍．

Answer 1

分析：先分別求出命題p和命題q的等價(jià)命題，即分別求出命題p和命題q為真命題時(shí)m的取值范圍，再由“p且q”為真命題，知p真且q真，最后求交集即可

解答：解：命題p為真命題?（m+2）（3-m）＜0?m＜-2或m＞3
對于函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6，有f ′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

．
函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上存在極值?f'（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根?(2m)2-12(m+

4

3

)＞0?m＜-1或m＞4．
于是命題q為真命題?m＜-1或m＞4．
所以“p且q”為真命題?命題p和q都是真命題-?

m＜-2或m＞3 m＜-1或m＞4

?m＜-2或m＞4．
故使“p且q”為真命題的m的取值范圍是（-∞，-2）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合命題、簡單邏輯連接詞、真值表的應(yīng)用，解題時(shí)不僅要熟記真值表，還要熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、導(dǎo)數(shù)求極值的方法等基礎(chǔ)知識