Question

已知函數(shù)f（x）=m²（lnx）²+（-3m+1）lnx在區(qū)間（e，e²）上是單調增函數(shù)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：分類討論，當m=0時符合要求，當m≠0時，利用導數(shù)求出極值點，得到極值點和e的關系，繼而得到關于m的一元二次不等式，解得即可．

解答： 解：當m=0時，f（x）=lnx為單調增函數(shù)，符合要求
當m≠0時，
f′（x）=2m²lnx•

1

x

+

-3m+1

x

=

1

x

[2m²lnx-3m+1]，
令f′（x）=0，解得x₀=e

3m-1

2m2

當f′（x）＞0時，即x＞x₀，單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x＜x₀，單調遞減，
∴x₀≤e
即：

3m-1

2m2

≤1，
即2m²-3m+1≥0，
∴（2m-1）（m-1）≥0，
解得m≥1，或m≤

1

2

，
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）
故答案為（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及一元二次不等式的解法，培養(yǎng)了學生分類討論和轉化的能力，屬于中檔題