【題目】在平面直角坐標系中,對于點、直線,我們稱為點到直線的方向距離.

1)設(shè)雙曲線上的任意一點到直線,的方向距離分別為,求的值;

2)設(shè)點、到直線的方向距離分別為,試問是否存在實數(shù),對任意的都有成立?說明理由;

3)已知直線和橢圓,設(shè)橢圓的兩個焦點到直線的方向距離分別為滿足,且直線軸的交點為、與軸的交點為,試比較的長與的大小.

【答案】(1);(2),理由見詳解;(3),證明見詳解.

【解析】

(1)根據(jù)定義表示出,然后結(jié)合點在雙曲線上計算出的值;

(2)假設(shè)存在滿足條件,計算出的值,令,即可求解出滿足條件的的值;

(3)根據(jù)新定義得到的結(jié)果,根據(jù)條件得到的范圍,將的范圍代入到中利用基本不等式即可比較出的大小,即可比較出的大小.

(1)由題設(shè)可知:設(shè),所以,

所以

又因為,所以;

(2) 假設(shè)存在實數(shù)滿足條件,因為

,

所以,所以,所以,

故存在滿足條件;

(3)因為,所以,

所以,所以,

又因為,所以

所以,取等號時

所以,所以.

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