Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可判斷f（x）是奇函數(shù)，先求定義域，再確定f（x）與f（-x）的關(guān)系；
（2）由題意，f（x）=log₂（-1+

2

1-x

），利用分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，從而求最值．

解答： 解：（1）f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
由題意，

x+1＞0 1 1-x ＞0

，解得，x∈（-1，1），
則函數(shù)f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

的定義域?yàn)椋?1，1），
又∵f（-x）=log₂（1-x）+log₂

1

1+x

=-（log₂（x+1）+log₂

1

1-x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=log₂（x+1）+log₂

1

1-x

=log₂

1+x

1-x

=log₂（-1+

2

1-x

）
∵x∈[0，1），∴

2

1-x

≥2，
∴-1+

2

1-x

≥1，
∴m=f（x）=log₂（-1+

2

1-x

）≥0．
故實(shí)數(shù)m的最小值為0．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的證明與函數(shù)的值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．