Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，若焦點(diǎn)明確，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值，若不明確，需分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：解：（1）由題意知，

.又雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ，

橢圓的方程為.

（2）若直線的傾斜角為，則，

當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，直線可設(shè)為，

，由

設(shè)， ，

， ，綜上所述：范圍為.