Question

（1）用定義法證明函數(shù)f（x）=

1-x

x- 2

在（

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)g（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的奇偶性，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）=

1-x

x- 2

在（

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)g（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的奇偶性．

解答： 解：（1）f（x）=

1-x

x- 2

=

1- 2 -(x- 2 )

x- 2

=-1+

1- 2

x- 2

任意設(shè)

2

＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1- 2

x1- 2

-

1- 2

x2- 2

=（

2

-1）[

1

x2- 2

-

1

x1- 2

]=（

2

-1）

x1-x2

(x2- 2 )(x1- 2 )

，
∵

2

＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁-

2

＞0，x₂-

2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．
證明：要使函數(shù)g（x）有意義，判斷函數(shù)e^x-e^-x≠0，即x≠0，
g（-x）=

e-x+ex

e-x-e-x

=-

ex+e-x

ex-e-x

=-g（x），
即函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和的奇偶性的證明和判斷，利用相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵．