Question

對于函數(shù)f（x）=ax²+bx+

b

a

-1．
（1）當a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）把所給的數(shù)字代入解析式，得到函數(shù)的解析式，要求函數(shù)的零點，只要使函數(shù)等于0就可以，解一元二次方程，得到結(jié)果．
（2）函數(shù)恒成立問題，首先函數(shù)恒有兩個相異的零點，得到函數(shù)的判別式大于0，對于b的值，不管b取什么，都能夠使得不等式成立，注意再次使用函數(shù)的判別式．

解答： 解：（1）當a=1，b=-2時，f（x）=x²-2x-3．
由f（x）=x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴函數(shù)f（x）的零點為-1，3．
（2）∵對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的零點，
∴a≠0，且△=b²-4b+4a＞0對于b∈R恒成立，
∴△′=16-16a＜0，解得a＞1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的零點的判定，在第二問中，注意兩次使用函數(shù)的判別式，這是函數(shù)的綜合題目中常見的一種題型．