Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+4，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）解析式和導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）方法一、f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立，即為f（x）_min＞0，對a討論，當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)a＞1時，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最小值，解不等式即可得到a的范圍；
方法二、運(yùn)用參數(shù)分離，可得$\frac{3}{2}$a＜$\frac{{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，令g（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得g（x）的最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+4，f′（x）=3x²-3x，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為k=f′（2）=6，切點(diǎn)為（2，6），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-6=6（x-2），
即為6x-y-6=0；
（2）f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立，即為f（x）_min＞0，
由f′（x）=3x²-3ax=0，得x=0或x=a，
（I）當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)-1＜x＜0，a＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
又f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，f（a）=4-$\frac{{a}^{3}}{2}$，
f（-1）-f（a）=）=3-$\frac{3}{2}$a-（4-$\frac{{a}^{3}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（a-2）（a+1）²＜0，即有f（-1）＜f（a），
當(dāng)0＜a≤1時f（x）_min=f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，
由題意只要3-$\frac{3}{2}$a＞0，得a＜2，
所以0＜a＜1．
（II）當(dāng)a＞1時，當(dāng)-1＜x＜0，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，f（1）=5-$\frac{3}{2}$a，顯然f（-1）＜f（1），
所以f（x）_min=f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，
由題意只要3-$\frac{3}{2}$a＞0，得a＜2，
所以1＜a＜2，
綜上（I）（II）可知：0＜a＜2．
（2）解法二：（參變分離）
f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+4＞0對x∈[-1，1]恒成立，
即x³+4＞$\frac{3}{2}$ax²，$\frac{3}{2}$a＜$\frac{{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，g′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{8-{x}^{3}}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x∈[-1，0）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，1]時，g′（x）＜0，
g（-1）=3，g（1）=5，
則g（x）_min=3，只要$\frac{3}{2}$a＜3，得a＜2，
則有0＜a＜2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運(yùn)用分類討論和參數(shù)分離的方法，屬于中檔題和易錯題．