Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（2）求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（2）由（1）可知，在[0，3]上f（x）有極小值$f（2）=-\frac{4}{3}$，而f（0）=4，f（3）=1，即可求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）因?yàn)?f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2）…（2分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，…（4分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）； …（5分）
由f'（x）＜0得-2＜x＜2…（7分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，2）…（8分）
（2）令f'（x）=x²-4=0得x=±2…（9分）
由（1）可知，在[0，3]上f（x）有極小值$f（2）=-\frac{4}{3}$，…（10分）
而f（0）=4，f（3）=1，
因?yàn)?-\frac{4}{3}＜1＜4$…（11分）
所以f（x）在[0，3]上的最大值為4，最小值為$-\frac{4}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．