Question

7．在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試中，規(guī)定每人最多投3次．每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在M處每投進(jìn)一球得3分，在N處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就認(rèn)為通過(guò)測(cè)試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1，先在M處投一球，以后都在N處投；方案2，都在N處投籃．甲同學(xué)在M處投籃的命中率為0.2，在N處投籃的命中率為0.5．
（1）當(dāng)甲同學(xué)選擇方案1時(shí)，求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分X的可能值為0，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．
（2）甲同學(xué)選擇1方案通過(guò)測(cè)試的概率為P₁，選擇2方案通過(guò)測(cè)試的概率為P₂，由已知條件求出P₂＞P₁，從而得到甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大．

解答 解：（1）設(shè)該同學(xué)在M處投中為事件A，不中為事件$\overline{A}$，
在N處投中為事件B，不中為事件$\overline{B}$．則事件A，B相互獨(dú)立，
甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分X的可能值為0，2，3，4．
則P（X=0）=P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{B}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{B}$）=0.8×0.5×0.5=0.2，
P（X=2）=P（$\overline{A}$B$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$B）=P（$\overline{A}$）P（B）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（B）=0.8×0.5×0.5+0.8×0.5×0.5=0.4，
P（X=3）=P（A）=0.2，
P（X=4）=P（$\overline{A}$BB）=P（$\overline{A}$）P（B）P（B）=0.8×0.5×0.5=0.2，
∴X的分布列為：

X	0	2	3	4
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴數(shù)學(xué)期望E（X）=0×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.2=2.2．（6分）
（2）甲同學(xué)選擇1方案通過(guò)測(cè)試的概率為P₁，選擇2方案通過(guò)測(cè)試的概率為P₂，
則P₁=P（X≥3）=0.2+0.2=0.4，
P₂=P（$\overline{B}$BB）+P（B$\overline{B}$B）+P（BB）=0.5×0.5×0.5+0.5×0.5×0.5+0.5×0.5=0.5，
∵P₂＞P₁，∴甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．